Question

已知函数f（x）=x³-3x；
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-3，2]上的最值．

Answer

（Ⅰ）先求出函数f（x）=x3-3x的导函数f′（x），分别令f′（x）＞0和f′（x）＜0便可求出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）分别求出两个短点f（-3）和f（2）的值以及极值f（-1）和f（1）的值，比较一下便可求出f（x）在区间[-3，2]上的最大值和最小值．
【解析】
（I）∵f（x）=x3-3x，
∴f'（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）．
令 f'（x）=0，得x=-1，x=1．
若  x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），则f'（x）＞0，
故f（x）在（-∞，-1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数，
若  x∈（-1，1），则f'（x）＜0，
故f（x）在（-1，1）上是减函数；

（II）∵f（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2，
∴当x=-3时，f（x）在区间[-3，2]取到最小值为-18．
∴当x=-1或2时，f（x）在区间[-3，2]取到最大值为2．