Question

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件：
（1）对任意的x∈[0，1]，总有f（x）＞0；
（2）f（1）=1；
（3）若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，则称f（x）为“友谊函数”，请解答下列各题：
①若已知f（x）为“友谊函数”，求f（0）的值并判断函数的单调性；
②函数g（x）=2^x-1在区间[0，1]上是否为“友谊函数”？并给出理由．

Answer

①赋值可考虑取x1=x2=0，代入f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），可得f（0）≥f（0）+f（0），由已知f（0）≥0，可得f（0）=0，由0≤x1＜x2≤1，则0＜x2-x1＜1，故有f（x2）=f（x2-x1+x1）≥f（x2-x1）+f（x1）≥f（x1），即得结论成立；
②要判断函数g（x）=2x-1在区间[0，1]上是否为“友谊函数，只要检验函数g（x）=2x-1在[0，1]上是否满足（1）g（x）＞0；（2）g（1）=1；（3）x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，有g（x1+x2）≥g（x1）+g（x2）即可．
【解析】
①取x1=x2=0，代入f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），
得f（0）≥f（0）+f（0），化简可得f（0）≤0
又由f（0）≥0，得f（0）=0
设0≤x1＜x2≤1，则0＜x2-x1＜1，
所以f（x2）=f（x2-x1+x1）≥f（x2-x1）+f（x1）≥f（x1）
故有f（x1）≤f（x2），故函数f（x）为定义在[0，1]上的增函数；
②显然g（x）=2x-1在[0，1]上满足（1）g（x）＞0；（2）g（1）=1；（3）若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，则有
g（x1+x2）-[g（x1）+g（x2）]=-1-[（-1）+（-1）]=（-1）（-1）≥0
故g（x）=2x-1满足条件（1）、（2）、（3），
所以g（x）=2x-1为友谊函数．