Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=，f（1）=1，已知a_n=f²（n）-f（n），则数列{a_n}的前40项和    ．

Answer

根据题中函数关系式化简整理，得到[f2（x+1）-f（x+1）]-[f2（x）-f（x）]=-，结合题意算出an+1-an=-，从而得到{an}构成公差d=-的等差数列，由f（1）=1算出a1=0，得到通项公式an=（1-n），最后利用等差数列的前n项和公式即可算出数列{an}的前40项和．
【解析】
∵f（x+1）=，
∴f（x+1）-=，
两边平方，得[f（x+1）-]2=f（x）-f2（x）
化简得[f2（x+1）-f（x+1）]-[f2（x）-f（x）]=-
∵an=f2（n）-f（n），可得an+1=f2（n+1）-f（n+1），
∴an+1-an=[f2（n+1）-f（n+1）]-[f2（n）-f（n）]=-，
可得{an}构成公差d=-的等差数列
∵f（1）=1，得a1=f2（1）-f（1）=0
∴{an}的通项公式为an=a1+（n-1）d=（1-n）
因此，数列{an}的前40项和为S40==20×（-）=-195
故答案为：-195