已知函数g（x）=是奇函数，f（x）=log4（4x+1）+mx是偶函数．（1...

已知函数g（x）=

是奇函数，f（x）=log₄（4^x+1）+mx是偶函数．
（1）求m+n的值；
（2）若g（x）＞log₄（2a+2）对任意的x≥1恒成立，求a的取值范围．

（1）根据定义在R上奇函数满足g（0）=0，解出n=1，再根据f（-x）=f（x），化简整理得到m=-，由此可得m+n的值；（2）由（1）表示出g（x），解决该问题只需求出g（x）的最小值，易判断g（x）在[1，+∞）上的单调性，根据单调性可求出g（x）的最小值；【解析】（1）由于g（x）为奇函数，且定义域为R， ∴g（0）=0，即=0，解之得n=1，由于f（x）=log4（4x+1）+mx， ∴f（-x）=log4（4-x+1）-mx=log4（4x+1）-（m+1）x， ∵f（x）=log4（4x+1）+mx是偶函数， ∴f（-x）=f（x），得到mx=-（m+1）x恒成立，故m=-，由此可得：m+n的值为；（2）由（1）知，g（x）==2x-2-x在区间[1，+∞）上时增函数，所以当x≥1时，g（x）min=g（1）=，由题意，得，解得-1＜a＜3，故实数a的取值范围是：{a|-1＜a＜3}．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等

已知函数g（x）=是奇函数，f（x）=log4（4x+1）+mx是偶函数． （1...

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