Question

已知函数f（x）=lnx+．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值是，求a的值．

Answer

（1）求函数的定义域，利用导数研究函数的单调区间．
（2）利用导数确定函数的最小值，然后利用函数f（x）在[1，e]上的最小值是，求a．
【解析】
函数的定义域为（0，+∞），…（1分）
（1）当a≤0时，∴f'（x）≥0故函数在其定义域（0，+∞）上是单调递增的． …（3分）
当a＞0时，函数在（0，a）上是单调递减的，在（a，+∞）上是单调递减的…（5分）
（2）在[1，e]上，分别进行讨论．
①当a＜1时，f'（0）＞0，函数f（x）单调递增，其最小值为f（1）=a＜1，这与函数f（x）在[1，e]上的最小值是矛盾，所以不成立．
②当a=1时，函数f（x）单调递增，其最小值为f（1）=1，函数f（x）在[1，e]上的最小值是矛盾，所以不成立．
③当1＜a＜e，函数f（x）在[1，a]上f'（x）＜0，函数单调递减，在（a，e）上有f'（x）＞0，此时喊得单调递增，
所以函数f（x）满足最小值为f（a）=lna+1=，
解得a=．
④当a=e时，函数f（x）在[1，a]上f'（x）＜0，函数单调递减，其最小值为f（e）=2，与条件矛盾．
⑤当a＞e时，函数f（x）在[1，e]上f'（x）＜0，函数单调递减，其最小值为f（e）=1+，与条件矛盾．
综上所述，a=．