Question

设函数f（x）=Asin（2ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，-π＜φ≤π）在x=处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求的解集；
（3）求函数的值域．

Answer

（1）依题意，其周期T=π，从而可求ω，由f（x）在x=处取得最大值2，可求A；由+φ=+2kπ，k∈Z（-π＜φ≤π）可求φ；
（2）依题意，解不等式sin（2x+）≥，利用正弦函数的性质即可求得不等式的解集；
（3）经过化简整理，可得g（x）=cos2x+1，从而可求其值域．
【解析】
（1）由题设条件知f（x）的周期T=π，即=π，解得ω=1．------------------------（2分）
因f（x）在x=处取得最大值2，所以A=2．
从而sin（2×+φ）=1，
所以+φ=+2kπ，k∈Z．又由-π＜φ≤π得φ=．
故f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）．----------------------------------------（4分）
（2）∵f（x）-≥0，
∴sin（2x+）≥，…（5分）
∴+2kπ≤2x+≤2kπ+，k∈Z…（6分）
∴+kπ≤x≤kπ+，k∈Z…（7分）
∴原不等式的解集为{x|+kπ≤x≤kπ+，k∈Z}…（8分）
（3）g（x）=
=
=
=
=cos2x+1=------（10分）（cos2x）------（11分），
因cos2x∈[0，1]，…（12分）
且cos2x≠，…（13分）       
故g（x）的值域为[1，）∪（，2]------（14分）