Question

如图：三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°，D为AB的中点，E点在BB₁上且DE=．
（1）求证：AB₁∥平面DEC．
（2）求证：A₁E⊥平面DEC．

Answer

（1）利用勾股定理可得AB，利用线面垂直的性质可得BB1⊥AB．再利用勾股定理可得BE，进而证明点E是线段BB1的中点，利用三角形的中位线定理可得AB1∥DE，利用线面平行的判定定理即可证明结论；
（2）利用勾股定理及其逆定理可得A1E⊥ED，利用等腰三角形的性质可得CD⊥AB，再利用线面与面面垂直的性质可得CD⊥侧面AA1B1B，即可得到CD⊥A1E．
利用线面垂直的判定定理即可证明结论．
证明：（1）∵侧棱AA1⊥底面ABC，BB1∥AA1，∴BB1⊥底面ABC，∴BB1⊥BD．
在Rt△ABC，∵∠ACB=90°，∴AB2=AC2+BC2=22+22=8，解得．
在Rt△BDE中，由勾股定理可得DE2=BD2+BE2，∴，解得BE=2．
∴．
连接AB1，则AB1∥DE．
∵AB1⊄平面DEC，DE⊂平面DEC，
∴AB1∥平面DEC．
（2）∵=18，=12，DE2=6，
∴，
∴．∴A1E⊥ED．
在△ACB中，∵AC=CB，AD=DB，∴CD⊥AB，
∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，∴CD⊥侧面AA1B1B．
∴CD⊥A1E．
∵DE∩CD=D．∴A1E⊥平面DEC．