Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，f（x）在点x=0处取得极值，并且在单调区间[0，3]和[5，6]上具有相反的单调性．
（1）求实数b的值；
（2）求实数a的取值范围．

Answer

（1）f′（x）=3x2+2ax+b，由f（x）在点x=0处取得极值，可得f′（0）=0，解得b=0．
可得．利用取得
可知a≠0时，b=0时，利用取得极值的条件即可得出．
（2）由于f（x）在单调区间[0，3]和[5，6]上具有相反的单调性．
可知：f′（x）区间[0，3]和[5，6]上具有相反的符号．分为以下两种情况：
1°若f′（x）区间[0，3]上f′（x）＞0，则[5，6]上f′（x）＜0．
2°若f′（x）区间[0，3]上f′（x）＜0，则[5，6]上f′（x）＞0．对a分类讨论即可．
【解析】
（1）f′（x）=3x2+2ax+b，∵f（x）在点x=0处取得极值，∴f′（0）=0，解得b=0．
∴．
可知a≠0时，b=0时，f′（x）在x=0处的左右符号相反，因此函数f（x）在点x=0处取得极值．
（2）由（1）可知：=．
∵f（x）在单调区间[0，3]和[5，6]上具有相反的单调性．
∴f′（x）区间[0，3]和[5，6]上具有相反的符号．分为以下两种情况：
1°若f′（x）区间[0，3]上f′（x）＞0，则[5，6]上f′（x）＜0．
2°若f′（x）区间[0，3]上f′（x）＜0，则[5，6]上f′（x）＞0．
①当a＞0时，f′（x）在区间[0，+∞）单调递增，∴f′（3）≤0，且f′（5）≥0，解得，应舍去；
②当a＜0时，．f′（x）在区间[0，单调递减，在区间单调递增．
∵f′（0）=0，∴必有，解得．
综上可知：实数a的取值范围是．