Question

已知函数f（x）=（x²+ax+3）e^x（x，a∈R）
（1）当a=0时，求函数f（x）的图象在A（1，f（1））处的切线方程．
（2）若函数y=f（x）为单调函数，求实数a的取值范围．
（3）当a=-3时，求f（x）的极小值．

Answer

（1）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，进而得到切线方程；
（2）得出f′（x），函数y=f（x）为单调函数，则△≤0；
（3）得出f′（x），利用导数与函数的单调性、极值的关系即可得出．
【解析】
（1）当a=0时，f（x）=（x2+3）ex，∴f′（x）=（x2+2x+3）ex，∴f′（1）=6e，
而f（1）=4e，∴函数f（x）的图象在A（1，f（1））处的切线方程为y-4e=6e（x-1），化为y=6ex-2e．
（2）∵f′（x）=[x2+（a+2）x+a+3]ex，及函数y=f（x）为单调函数，
∴△=（a+2）2-4（a+3）≤0，解得．
（3）当a=-3时，f（x）=（x2-3x+3）ex，
∴f′（x）=（x2-x）ex=x（x-1）ex，
令f′（x）=0，解得x=0，1．
列表如下：
由表格可知：当x=1时，函数f（x）取得极小值，
且f（1）=e．