Question

设a，b为正实数，下列结论正确的是（ ）
①若a²-b²=1，则a-b＜1；        
②若，则a-b＜1；
③若，则|a-b|＜1；  
④若|a³-b³|=1，则|a-b|＜1．
A．①②
B．②④
C．①③
D．①④

Answer

①将a2-b2=1，分解变形为（a+1）（a-1）=b2，即可证明a-1＜b，即a-b＜1；②③可通过举反例的方法证明其错误性；④若a＞b，去掉绝对值，将a3-b3=1分解变形为（a-1）（a2+1+a）=b3，即可证明a-b＜1，同理当a＜b时也可证明b-a＜1，从而命题④正确．
【解析】
①若a2-b2=1，则a2-1=b2，即（a+1）（a-1）=b2，
∵a+1＞a-1，∴a-1＜b，即a-b＜1，①正确； ②若若，可取a=7，b=，则a-b＞1，∴②错误；
③若若，则可取a=9，b=4，而|a-b|=5＞1，∴③错误；
④由|a3-b3|=1，
若a＞b，则a3-b3=1，即a3-1=b3，即（a-1）（a2+1+a）=b3，
∵a2+1+a＞b2，∴a-1＜b，即a-b＜1
若a＜b，则b3-a3=1，即b3-1=a3，即（b-1）（b2+1+b）=a3，
∵b2+1+b＞a2，∴b-1＜a，即b-a＜1
∴|a-b|＜1∴④正确；
所以正确的答案为①④．
故选D．