Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x²-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）试判断是否存在斜率为1的直线，使其与圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由．

Answer

（I）设出圆的一般式方程，利用曲线y=x2-6x+1与方程的对应关系，根据同一性求出参数，即可得到圆C的方程；
（II）设斜率为1的直线方程为x-y+a=0，圆C与直线x-y+a=0的交点于A（x1，y1）、B（x2，y2）．将直线与圆C方程消去y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理结合OA⊥OB建立关于x1、x2、a的方程组，解出a=-1即可得到存在斜率为1的直线满足题中的条件．
【解析】
（I）设圆C方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．
在曲线y=x2-6x+1中令x=0，得y=1，则点（0，1）在圆C上，可得1+E+F=0（*）
再令y=0，可得方程x2 -6x+1=0与x2+Dx+F=0是同一方程，得D=-6，F=1，
代入（*）解出E=-2，
∴圆C方程为x2+y2-6x-2y+1=0，即（x-3）2+（y-1）2=9
（Ⅱ）设斜率为1的直线方程为x-y+a=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组
由消去y，得方程2x2+（2a-8）x+a2-2a+1=0，
∴△=56-16a-4a2＞0．
利用根与系数的关系，得到x1+x2=4-a，x1x2=（a2-2a+1）①，
若OA⊥OB，则可得x1x2+y1y2=0，
结合y1=x1+a，y2=x2+a，代入可得2x1x2+a（x1+x2）+a2=0②
由①②联解可得a=-1，此时△=56-16a-4a268＞0．
∴a=-1，得存在斜率为1的直线x-y-1=0，使其与圆C交于A、B两点满足OA⊥OB．