Question

设函数f（x）=x²-xlnx+2，
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在区间，使f（x）在[a，b]上的值域是[k（a+2），k（b+2）]，求k的取值范围．

Answer

（Ⅰ）已知函数f（x）=x2-xlnx+2，对f（x）进行求导，利用导数求函数的单调区间；
（Ⅱ）要求存在区间，使f（x）在[a，b]上的值域是[k（a+2），k（b+2）]，将其转化为f（x）=k（x+2）在[，+∞）上至少有两个不同的正根，再利用导数求出k的取值范围；
【解析】
（Ⅰ）令g（x）=f′（x）=2x-lnx-1（x＞0），则g′（x）=2-=，（x＞0）
令g′（x）=0，得x=，
当0＜x＜时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；
当x≥时，g′（x）≥0，g（x）为增函数；
所以g（x）在（0，）单调递减，在[，+∞）单调递增，
则g（x）的最小值为g（）=ln2＞0，
所以f′（x）=g（x）≥g（）＞0，
所以f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）在区间[a，b]⊆[，+∞）递增，
∵f（x）在[a，b]上的值域是[k（a+2），k（b+2）]，
所以f（a）=k（a+2），f（b）=k（b+2），≤a＜b，
则f（x）=k（x+2）在[，+∞）上至少有两个不同的正根，
k=，令F（x）==，
求导得，F′（x）=（x≥），
令G（x）=x2+3x-2lnx-4（x≥）
则G′（x）=2x+3-=
所以G（x）在[，+∞）递增，G（）＜0，G（1）=0，
当x∈[，1]时，G（x）＜0，∴F′（x）＜0，
当x∈[1，+∞]时，G（x）＞0，∴F′（x）＞0，
所以F（x）在[，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
∴F（1）＜k≤F（），
∴k∈（1，]；