Question

袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1，2，3，4）．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．
（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；
（Ⅱ）若η=aξ+b，Eη=1，Dη=11，试求a，b的值．

Answer

（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，P（ξ=k）=，可出分布列，再由期望、方差的定义求期望和方差；
（2）若η=aξ+b，由期望和方差的性质Eη=aEξ+b，Dη=a2Dξ，解方程组可求出a和b．
【解析】

（Ⅰ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4
分布列为：

∴
（Ⅱ）由Dη=a2Dξ，得a2×2.75=11，即
a=±2．又Eη=aEξ+b，所以
当a=2时，由1=2×1.5+b，得b=-2；
当a=-2时，由1=-2×1.5+b，得b=4．
∴或即为所求．