Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n+3．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）求证数列{a_n+3}为等比数列；
（Ⅲ）令b_n=n•a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（Ⅰ）利用递推式，分别令n=2，3，4即可；
（Ⅱ）由an+1=2an+3，得an+1+3=2（an+3），根据等比数列的定义可作出证明；
（Ⅲ）由（Ⅱ）求出an，进而得到bn，分别利用错位相减法及分组求和法可求得结果；
（Ⅰ）【解析】
由an+1=2an+3得，a2=2a1+3=7，a3=2a2+3=17，a4=2a3+3=37；
（Ⅱ）由an+1=2an+3，得an+1+3=2（an+3），
又a1+3=5，知，
所以数列{an+3}是以5为首项，2为公比的等比数列．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，故；
所以，
令+5•n•2n-1①，
+…+5•n•2n②，
①-②得，-Tn=5（1+2+22+23+…+2n-1-n•2n）=-5n•2n=5（1-n）•2n-5，
所以Tn=5（n-1）•2n+5，
利用分组求和法，可得；