Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时，，若f （x）≥x+a“对于任意x∈R恒成立，则常数a的取值范围是（ ）
A．
B．（-∞，-2]
C．
D．（-∞，-1]

Answer

f （x）≥x+a“对于任意x∈R恒成立，分离出参数a后可转化为函数的最小值解决，分x≤-1；-1＜x≤0；x≥1；0≤x＜1几种情况进行讨论，构造函数，利用函数的单调性或导数可求得函数的最小值．
【解析】
①当x≤-1时，f （x）≥x+a即，也即-x≥a，
而-x递减，所以-x的最小值为1，
此时，a≤1；
②当-1＜x≤0时，f （x）=f（x-1）=≥x+a，即为-x≥a，
而-x递减，所以-x的最小值为，
此时，a；
③当x≥1时，-x≤-1，
因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（-x）=≥x+a，即-x≥a，
令g（x）=-x，g′（x）=ex-2-1，
当1≤x＜2时，g′（x）＜0，g（x）递减；当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）递增；
所以x=2时g（x）取得最小值，此时，a≤g（2）=-1；
④当0≤x＜1时，-2＜-x-1≤-1，f（x）=f（-x）=f（-x-1）=≥x+a，即-x≥a，
令h（x）=-x，h′（x）=ex-1-1＜0，h（x）递减，
所以h（x）＞h（1）=0，此时a≤0；
综上，要使f （x）≥x+a“对于任意x∈R恒成立，a的取值范围为a≤-1，
故选D．