设所求正四面体为S-ABCD,可得它的内切球的球心0在高线SH上,延长AH交BC于点D,则D为BC的中点,连结SD则内切球切SD于点E,连结AO.利用正三角形的性质及三角形相似,算出内切球的半径OH=SH,结合题中数据可得内切球的半径r=,利用球的表面积公式即可算出答案.
【解析】
设正四面体S-ABCD如图所示,
可得它的内切球的球心0必定在高线SH上
延长AH交BC于点D,则D为BC的中点,连结SD则内切球切SD于点E,连结AO
∵H是正三角形ABC的中心
∴AH:HD=2:1
∵Rt△0AH∽Rt△DSH
∴=3,可得OA=30H=S0
因此,SH=4OH,可得内切球的半径OH=SH
∵正四面体棱长为1
∴Rt△SHD中,SD=,HD=SD=
可得SH==,得内切球的半径r=OH=×=
因此正四面体内切球的表面积为S=4πr2=
故选:A