Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．

Answer

（1）连结AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，利用三角形中位线的性质，可知EF∥PA，利用线面平行的判定定理，即可得出结论；
（2）先证明CD⊥平面PAD，可得CD⊥PA，再证明PA⊥PD，可得PA⊥平面PCD，从而可得平面PAB⊥平面PCD．
证明：（1）连结AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，
故在△CPA中，EF∥PA，…（2分）
∵PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
∴EF∥平面PAD…（6分）
（2）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，
所以，CD⊥平面PAD，
∵PA⊂平面PAD，
∴CD⊥PA
又，
所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD
又CD∩PD=D，∴PA⊥平面PCD，
又PA⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PCD…（12分）