Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，，E是DD₁的中点．
（Ⅰ）求直线B₁D和平面A₁ADD₁所成角的大小；
（Ⅱ）求证：B₁D⊥AE；
（Ⅲ）求二面角C-AE-D的大小．

Answer

（Ⅰ）连接A1D，根据题意可知A1D是B1D在平面A1ADD1上的射影，从而得到∠A1DB1是直线B1D和平面A1ADD1所成的角，
在Rt△B1A1D中，求出此角即可；
（Ⅱ）根据比例关系可知△A1AD～△ADE，从而得到∠A1DA=∠AED，根据角与角的关系可知A1D⊥AE，而A1D是B1D在平面A1ADD1上的射影，最后根据三垂线定理得结论；
（Ⅲ）设A1D∩AE=F，连接CF，根据二面角的平面角的定义可知∠DFC是二面角C-AE-D的平面角，在Rt△ADE中，求出DF，在Rt△FDC中，求出角DFC，从而求出二面角C-AE-D的大小．
【解析】
（Ⅰ）连接A1D．∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，
∴A1B1⊥平面A1ADD1，
∴A1D是B1D在平面A1ADD1上的射影，
∴∠A1DB1是直线B1D和平面A1ADD1所成的角（2分）
在Rt△B1A1D中，，
∴∠A1DB1=30°，
即直线B1D和平面A1ADD1所成角的大小是30°（4分）

（Ⅱ）证明：在Rt△A1AD和Rt△ADE中，
∵，
∴△A1AD～△ADE，∴∠A1DA=∠AED．
∴∠A1DA+∠EAD=∠AED+∠EAD=90°，
∴A1D⊥AE（7分）
由（Ⅰ）知，A1D是B1D在平面A1ADD1上的射影，
根据三垂线定理得，B1D⊥AE（9分）

（Ⅲ）设A1D∩AE=F，连接CF．∵CD⊥平面A1ADD1，且AE⊥DF，
根据三垂线定理得，AE⊥CF，∴∠DFC是二面角C-AE-D的平面角（11分）
在Rt△ADE中，由．
在Rt△FDC中，，∴∠DFC=60°，
即二面角C-AE-D的大小是60°（14分）