Question

已知定义在R上的函数f（x）=x²（ax-3），其中a为常数．
（1）若x=l是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围．

Answer

（1）先求出函数f（x）的导函数f′（x），由题意f′（1）=0，解得a=2，再代入f′（x），验证在x=1处两侧的导数符号异号；
（2）由题意求出函数g（x）的导函数g′（x），再求g′（x）=0的两个根为x1，x2，再分类讨论与区间[0，2]的大小关系，求出g（x）的最大只能所有情况g（0）或g（2），根据条件列出g（0）≥g（2），代入解析式求出a的范围．
【解析】
（1）∵=ax3-3x2，∴f′（x）=3ax2-6x，
∵x=l是函数f（x）的一个极值点，∴f′（1）=0，
解得，a=2，此时f′（x）=6（x2-x）=6x（x-1），
∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（-∞，0），（1，+∞）时，f′（x）＞0，
∴a=2．
（2）由题意得g（x）=f（x）+f′（x）=ax3+3（a-1）x2-6x，a＞0且x∈[0，2]，
∴g′（x）=3ax2+6（a-1）x-6=3[ax2+2（a-1）x-2]，
令g′（x）=0，即ax2+2（a-1）x-2=0，
且△=4（a-1）2+8a=4a2+4＞0，
∴方程ax2+2（a-1）x-2=0有两个不同的根，设为x1，x2，则
x1x2=-＜0，不妨设x1＜0＜x2，
当0＜x2＜2时，g（x2）为极小值，则g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）；
当x2≥2时，则g（x）在[0，2]上是单调减函数，
∴g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0），
综上得，g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）；
∵g（x）在x=0处取得最大值，∴g（0）≥g（2），
即0≥20a-24，得a≤，
∵a＞0，∴a∈（0，]．