Question

已知函数f（x）=x³-3x²+1，g（x）=，则方程g[f（x）]-a=0（a为正实数）的根的个数不可能 为（ ）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个

Answer

由已知中函数的解析式，我们易求出f（x）与y=m的交点情况为：当a＜-3，或a＞1时，有一个交点；当a=-3，或a=1时，有两个交点；当-3＜a＜1时，有三个交点；g（x）与y=a点情况为（x）与y=a的交点情况为：当0＜a＜1时有两个交点，一个在区间（-4，-3）上，一个在区间（-3，-2）上；当a=1时有两个交点，一个为-3，一个为；当a＞1时有两个交点，一个在区间（0，）上，一个在区间（-，1）上．分类讨论后，即可得到方程g[f（x）]-a=0（a为正实数）的根的个数所有的情况，进而得到答案．
【解析】
∵函数f（x）=x3-3x2+1，g（x）=，
∴当a=1时，若方程g[f（x）]-a=0，则：
f（x）=-3，此时方程有2个根
或f（x）=，此时方程有3个根
故方程g[f（x）]-a=0可能共有5个根；
当0＜a＜1时，方程g[f（x）]-a=0，则：
f（x）∈（-4，-3），此时方程有1个根
或f（x）∈（-3，-2），此时方程有3个根
故方程g[f（x）]-a=0可能共有4个根；
当a＞1时，方程g[f（x）]-a=0，则：
可能有4个、5个或6个根．
故选A．