Question

若a＞0，b＞0，且点（a，b）在过点（1，-1），（2，-3）的直线上，则的最大值是    ．

Answer

由点（a，b）在过点（1，-1）和（2，-3）的直线上得2a+b=1，所以S=2 -4a2-b2=4ab+2 -1，再令 =t＞0，则S化为关于t的二次函数形式，再由二次函数的性质结合t的取值范围可得S的最大值．
【解析】
过点（1，-1），（2，-3）的直线方程为：，2x+y-1=0．
∴2a+b-1=0，即2a+b=1．
S=2 -4a2-b2=4ab+2 -（2a+b）2=4ab+2 -1
令 =t，∵a＞0，b＞0，∴2a+b=1≥2，∴0＜≤，即 0＜t ，
则 S=4t2+2t-1，在（0，+∞）上为增函数
故 当t= 时，S 有最大值 ，
故答案为：．