Question

已知数列{a_n} 的前n项和为S_n ，且有a₁=2，3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1（n≥2）．
（1）若b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（2）若c_n=tⁿ[lg（2t）ⁿ+lga_n+2]（0＜t＜1），且数列{c_n} 中的每一项总小于它后面的项，求实数t的取值范围．

Answer

（1）由3Sn=5an-an-1+3Sn-1（n≥2），利用an=Sn-Sn-1可得3an=5an-an-1，化为．
利用等比数列的通项公式即可得出an，进而得到bn．再利用“错位相减法”即可得出Tn．
（2）利用（1）得出cn，再利用cn＜cn+1，可化为n＞（n+1）t，即，利用单调性即可得出．
【解析】
（1）∵3Sn=5an-an-1+3Sn-1（n≥2），∴3an=5an-an-1，化为．
∴数列{an}是以2为首项，为公比的等比数列，
∴=22-n．
∴．
∴Tn=1×2+3×2+5×2-1+…+（2n-3）×23-n+（2n-1）•22-n，
2Tn=1×22+3×21+…+（2n-3）•24-n+（2n-1）•23-n．
∴Tn=4+2×21+2×2+…+2×23-n-（2n-1）•22-n．
=-4-（2n-1）•22-n
=-4-（2n-1）22-n
=12--（2n-1）•22-n．
（2）=ntn[lg（2t）-1]．
∵cn＜cn+1，∴ntn[lg（2t）-1]＜（n+1）tn+1[lg（2t）-1]．（*）
∵0＜t＜1，∴0＜2t＜2，∴lg（2t）＜1．
∴（*）化为n＞（n+1）t，∴．
∵随着n的增大而减小，
∴．
而0＜t＜1．
得到．即为t的取值范围．