Question

设数列{a_n}前n项和为S_n，且（3-m）S_n+2ma_n=m+3（n∈N^*）．其中m为实常数，m≠-3且m≠0．
（1）求证：{a_n}是等比数列；
（2）若数列{a_n}的公比满足q=f（m）且，求{b_n}的通项公式；
（3）若m=1时，设T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n（n∈N^*），是否存在最大的正整数k，使得对任意n∈N^*均有成立，若存在求出k的值，若不存在请说明理由．

Answer

（1）由（3-m）Sn+2man=m+3，得（3-m）Sn+1+2man+1=m+3，由此能够证明{an}是等比数列．
（2）由，知n≥2时，，所以是以1为首项，为公差的等差数列，由此能求出．
（3）由，知，由此能求出k的最大值．
【解析】
（1）由（3-m）Sn+2man=m+3，
得（3-m）Sn+1+2man+1=m+3，
两式相减，得（3+m）an+1=2man（m≠-3），
∴，
∵m是常数，且m≠-3，m≠0，
故为不为0的常数，
∴{an}是等比数列．
（2）由，
且n≥2时，，
得，
∴是以1为首项，为公差的等差数列，
∴，
故．
（3）由已知，
∴
相减得：，
∴，
，
Tn递增，
∴，
∵对n∈N*均成立，
∴，
又k∈N*，∴k最大值为7．