Question

已知函数是奇函数，且．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用单调性的定义证明f（x）在区间[1，4]是减函数
（3）求函数f（x）在区间[1，4]上的最小值．

Answer

（1）由题意可得f（-x）=-f（x），代入可得，可求q．，由，可求p，从而可求
（2）由（1）可得=，设1≤x1＜x2≤4，=，根据条件可判断
（3）由（2）可得函数f（x）在区间[1，4]上的最小值f（4）
（1）【解析】
∵f（x）是奇函数，
∴对定义域内的任意的x，都有f（-x）=-f（x），
即，整理得：q+3x=-q+3x
∴q=0
又∵，
∴，解得p=2
∴所求解析式为
（2）由（1）可得=，f（x）在区间[1，4]上是减函数．
证明如下：设1≤x1＜x2≤4，，
则由于=
因此，当1≤x1＜x2≤4时，x1x2＞0，x1-x2＜0，1-x1x2＜0
从而得到f（x1）-f（x2）＞0即，f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在区间[1，4]是减函数．
（3）由（2）可得函数f（x）在区间[1，4]上的最小值=