(1)把条件①f(1)=5;②6<f(2)<11代入到f(x)中求出a和c即可;
(2)不等式f(x)-2mx≤1恒成立⇔2(1-m)≤-(x+)在[,]上恒成立,只需要求出[-(x+)]min=-,然后2(1-m)≤-求出m的范围即可.
【解析】
(1)∵f(1)=a+2+c=5,
∴c=3-a.①
又∵6<f(2)<11,即6<4a+c+4<11,②
将①式代入②式,得-<a<,又∵a、c∈N*,∴a=1,c=2.
(2)由(1)知f(x)=x2+2x+2.
证明:∵x∈[,],∴不等式f(x)-2mx≤1恒成立⇔2(1-m)≤-(x+)在[,]上恒成立.
易知[-(x+)]min=-,
故只需2(1-m)≤-即可.
解得m≥.