Question

下面给出的4个命题：
①已知命题p：∀x₁，x₂∈R，，则¬p：∃x₁，x₂∈R，；
②函数f（x）=2^-x-sinx在[0，2π]上恰好有2个零点；
③对于定义在区间[a，b]上的连续不断的函数y=f（x），存在c∈（a，b），使f（c）=0的必要不充分条件是f（a）f（b）＜0；
④对于定义在R上的函数f（x），若实数x满足f（x）=x，则称x是f（x）的不动点．若f（x）=x²+ax+1不存在不动点，则a的取值范围是（-1，3）．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

根据全称命题否定的方法，求出原命题的否定形式，可判断①，根据函数y=2-x与函数y=sinx的图象在[0，2π]上交点个数，可判断②，根据零点存在定理及充要条件的定义，可判断③，根据不动点的定义及一元二次方程根的个数与△的关系，可判断④．
【解析】
命题p：∀x1，x2∈R，的否定¬p：∃x1，x2∈R，；故①正确；
∵函数y=2-x与函数y=sinx的图象在[0，2π]上恰好有2个交点，故函数f（x）=2-x-sinx在[0，2π]上恰好有2个零点，故②正确；
根据零点存在定理，可得在区间[a，b]上的连续不断的函数y=f（x），若f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上存在零点，即存在c∈（a，b），使f（c）=0；但存在c∈（a，b），使f（c）=0时，f（a）f（b）＜0不一定成立，故存在c∈（a，b），使f（c）=0的充分不必要条件是f（a）f（b）＜0；故③不正确；
f（x）=x2+ax+1不存在不动点，则方程x2+ax+1=x，即x2+（a-1）x+1=0无实数根，即△=（a-1）2-4＜0，
解得a∈（-1，3），故④正确；
故正确命题的个数是3个
故选C