Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，D分别是AB的中点．
（Ⅰ）证明：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）设AA₁=AC=CB=2，，求三棱锥D-A₁CA的体积．

Answer

（Ⅰ）连接AC1 交A1C于点F，则DF为三角形ABC1的中位线，故DF∥BC1．再根据直线和平面平行的判定定理证得BC1∥平面A1CD．
（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形，由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1．求得CD的值，利用勾股定理求得A1D、DE和A1E的值，
可得A1D⊥DE．进而求得的值，再根据三棱锥C-A1DE的体积为，运算求得结果．
【解析】
（Ⅰ）证明：连接AC1 交A1C于点F，则F为AC1的中点．
∵直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，
故DF为三角形ABC1的中位线，故DF∥BC1．
由于DF⊂平面A1CD，而BC1不在平面A1CD中，
故有BC1∥平面A1CD．
（Ⅱ）∵AA1=AC=CB=2，AB=2，
故此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形．
由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1，
∴CD==．
∵A1D==，
同理，利用勾股定理求得 DE=，A1E=3．
再由勾股定理可得，∴A1D⊥DE．
∴=A1D•DE=，
∴=．