Question

若函数y=kx²-4x+k-3对一切实数x都有y＜0，则实数k的取值范围是    ．

Answer

因为函数y=kx2-4x+k-3对一切实数x都有y＜0所以函数y=kx2-4x+k-3的图象全部在x轴的下方．分k=0与k＜0两种情况讨论，显然k=0不符合题意，k＜0时，二次函数y=kx2-4x+k-3的图象全部在x轴的下方所以解得k＜-1．
【解析】
∵函数y=kx2-4x+k-3对一切实数x都有y＜0
∴函数y=kx2-4x+k-3的图象全部在x轴的下方
①当k=0时函数y=-4x-3显然此时函数的图象不全部在x轴的下方
所以k=0不符合题意
②当k≠0时原函数是二次函数
∵函数y=kx2-4x+k-3对一切实数x都有y＜0
∴二次函数y=kx2-4x+k-3的图象全部在x轴的下方
所以解得k＜-1
由①②可得实数k的取值范围是 （-∞，-1）．
故答案为：（-∞，-1）．