Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、P、Q分别是BC、C₁D₁、AD₁、BD的中点．
（1）求证：PQ∥平面DCC₁D₁；
（2）求证：AC⊥EF．

Answer

（1）连接AC，CD1，由P，Q分别为AD1、AC的中点，知PQ∥CD1，由此能够证明PQ∥平面DCC1D1．
（2）作CD中点H，连接EH，FH，由F，H分别是CD，C1D1的中点，知FHD1D，由D1D⊥面ABCD，知FH⊥面ABCD，故AC⊥FH，再由AC⊥BD，得到AC⊥平面EFH，由此能够证明AC⊥EF．
证明：（1）如图所示，连接AC，CD1，
∵P，Q分别为AD1、AC的中点，∴PQ∥CD1，
∵CD1⊂平面DCC1D1，PQ⊄平面DCC1D1，
∴PQ∥平面DCC1D1．
（2）如图，作CD中点H，连接EH，FH，
∵F，H分别是CD，C1D1的中点，∴在平行四边形CDD1C1中，FHD1D，
∵D1D⊥面ABCD，∴FH⊥面ABCD，
∵AC⊂面ABCD，∴AC⊥FH，
又∵E，H分别为BC、CD的中点，
∴EH∥DB，
∵AC⊥BD，∴AC⊥平面EFH，
∵EF⊂平面EFH，∴AC⊥EF．