Question

四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，E，F分别为AC和PB上的点，它的直观图，正视图，侧视图．如图所示，

（1）求EF与平面ABCD所成角的大小；
（2）求二面角B-PA-C的大小；
（3）求三棱锥C-BEF的体积．

Answer

先由正视图及侧视图可得，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为4正方形，侧棱PA=4，且PA⊥平面ABCD
（1）由E，F为AC，PB的中点考虑取AB得中点M，则由已知可得MF⊥平面ABCD，则∠FEM即为直线EF与平面ABCD所成的角，在Rt△FEM中求解即可
（2）由已知条件可得，PA⊥AB，PA⊥AC可得∠BAC二面角B-PA-C的平面角
（3）由（1）知点F到平面BEC的距离为MF=2
由题意可得，利用换顶点求解VC-BEF=VF-BEC
【解析】
由正视图及侧视图的可知，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为4正方形，侧棱PA=4，且PA⊥平面ABCD
（1）取AB得中点M，连接ME，MF
则可得MF∥PA，由PA⊥平面ABCD可得MF⊥平面ABCD
∴∠FEM即为直线EF与平面ABCD所成的角
在Rt△FEM中，FM=2，ME=2，∴∠FEM=45°
EF与平面ABCD所成角为45°
（2）由已知条件可得，PA⊥AB，PA⊥AC
∴∠BAC二面角B-PA-C的平面角
∵∠BAC=45°∴二面角B-PA-C的平面角的大小为45°
（3）由（1）知点F到平面BEC的距离为MF=2
由题意可得，VC-BEF=VF-BEC===