Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=，S_n=n（2n-1）a_n （n∈N*）．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer

（1）利用数列的前n项和与第n项的关系，得到关于数列的递推关系式，即可求得此数列的前几项．
（2）用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当n=1时，结论显然成立，第二步，先假设当n=k+1时，有ak=，利用此假设证明当n=k+1时，结论也成立即可．
【解析】
（1）∵Sn=n（2n-1）an，且a1=
∴当n=2时，S2=a1+a2=2（4-1）a2，解得：a2=；
当n=3时，S3=a1+a2+a3=3（6-1）a3，解得：a3=
（2）由 （1）可以猜想{an}的通项为an=
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，由条件知等式成立；
②假设当n=k（k≥1且k∈N*）等式成立，
即：ak=
那么当n=k+1时，由条件Sn=n（2n-1）an 有：
Sk=k（2k-1）ak=k（2k-1）； 
=，
∴Sk+1-Sk=ak+1=（k+1）（2k+1）-，即
k（2k+3）ak+1=，∴ak+1=，
即：当n=k+1时等式也成立．
由①②可知，命题对一切n∈N*都成立．