Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx-1，且不等式|f（x）|≤2|2x²-1|的实数x恒成立，数列{a_n}满足a₁=1，．
（1）求a，b的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证．

Answer

（1）由不等式|f（x）|≤2|2x2-1|的实数x恒成立，由x=±时，2|2x2-1|=0，结合绝对值的非负性，可得f（）=f（-）=0，由此构造方程可求出a，b的值；
（2）由f（x）=2x2+1，可得an+1=2an+1，进而可得数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，求出数列{an+1}的通项公式后，可得数列{an}的通项公式；
（3）由=≥-•（k≥3），利用放缩法，可证得．
【解析】
（1）∵不等式|f（x）|≤2|2x2-1|对任意的实数x恒成立．且当x=±时，2|2x2-1|=0
∴|f（）|≤0，且|f（-）|≤0，
即f（）=f（-）=0
即，
解得：a=2，b=0；
（2）由 （1）知f（x）=2x2+1，
∴=2an+1，
an+1+1=2（an+1）
又a1=1，
∴数列{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列．
∴an+1=2n，
从而数列{an}的通项公式an=2n-1；
（3）由 （2）知an=2n-1，
∴==-=-≥-•（k≥3）
∴≥++-•（++…+）=-•（1-）＞-=＞
综上有．