Question

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，给出下面关于f（x）的判断：
①f（x）是周期函数；  
②f（x）在[0，1]上是增函数；
③f（x）在[1，2]上是减函数；
④f（x）关于直线x=1对称．
其中正确判断的序号为    （写出所有正确判断的序号）．

Answer

由f（x+1）=-f（x）可得f（x+2）=f（x），即可得周期T，可判断①；
由f（x）为偶函数且在[-1，0]上单增可得f（x）在[0，1]上的单调性，可判断②；
再根据周期函数的性质，且在[-1，0]上是增函数，推出y=f（x）的图象关于x=1对称，故f（x）在[1，2]上为增函数，可判断③④．
【解析】
由f（x+1）=-f（x）可得f（x+2）=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x），即可得周期T=2，故①正确；
由f（x）为偶函数且在[-1，0]上单增可得f（x）在[0，1]上是减函数，故②错；
由于f（x）在[0，1]上是减函数，
又∵f（x+2）=f（x）=f（-x），
∴y=f（x）的图象关于x=1对称，故f（x）在[1，2]上为增函数，f（2）=f（0），故③错，④正确．
故答案为：①④