Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，且f（）=-，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=，c=1，求△ABC面积的最大值．

Answer

（1）依题意，可求得T=，从而可求ω，由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象经过（，-）及0＜φ＜π可求得φ，又f（）=-可求A；
（2）在锐角△ABC中，由f（C）=sin（3C+）=，可求C；利用余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，c=1及基本不等式可求得ab≤2+，从而可得答案．
【解析】
（1）由题意得，=-=，故T=，
∴ω=3…2分                
又当x=时，3x+φ=+φ=2kπ，k∈Z，
∵0＜φ＜π，
∴φ=…4分   
∴f（x）=Asin（3x+）；
又f（）=-，
∴A=…6分
∴f（x）=sin（3x+）；…7分
（2）由f（C）=sin（3C+）=，
∴sin（3C+）=，又0＜C＜，
∴3C+∈（，），
∴3C+=，故C=…9分
∵c2=a2+b2-2abcosC，c=1，
∴1=a2+b2-ab≥（2-）ab，
∴ab≤2+…11分
∴S△ABC=absinC=ab≤…13分
∴△ABC面积的最大值为…14分