Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²，数列{b_n}的前n项和T_n=2-b_n．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n²•b_n，证明：当且仅当n≥3，且n∈N⁺时，c_n+1＜c_n．

Answer

（1）因为给出了数列{an}的前n项和Sn=n2，所以可用：n=1时，a1=S1，n≥2时，an=Sn-Sn-1来求数列{an}的通项公式．再由bn=Tn-Tn-1，可得2bn=bn-1说明数列{bn}是等比数列，由此可求数列{bn}的通项公式．
（2）由（1）（2）及cn=an2•bn，推出的取值范围，进而可证得当且仅当n≥3，且n∈N+时，cn+1＜cn．
【解析】
（1）由于a1=S1=1
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1，
又∵n=1时，2n-1=1
∴an=2n-1，n∈N*，
又当n≥2时bn=Tn-Tn-1=（2-bn）-（2-bn-1），
∴2bn=bn-1
∴数列bn是等比数列，其首项为1，公比为，
∴bn=（）n-1．
（2）由（1）知Cn=an2bn=（2n-1）2（）n-1＞0
∴Cn+1=（2n+1）2（）n＞0
∴==
若cn+1＜cn．则＜1
∴4n2-12n+1＞0 
解得n＞+或n＜-12分
又∵n∈N*，
∴n≥3
所以当且仅当n≥3，且n∈N+时，cn+1＜cn．