Question

已知函数f（x）=x³+ax²-（2a+3）x+a²（a∈R）
（1）若曲线y=f（x）在x=-1处的切线与直线2x-y-1=0平行，求a的值
（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上不单调，求实数a的取值范围；
（3）求所有的实数a，使得f（x）＞0对x∈[-1，1]恒成立．

Answer

（1）利用导数的几何意义求a．（2）利用导数与函数单调性之间的关系进行求范围．（3）利用导数求函数在[-1，1]上的最小值即可．
【解析】
（1）由题意得f'（x）=3x2+2ax-（2a+3），所以f'（-1）=3-2a-（2a+3）=2，解得a=-.4分
（2）函数的导数f'（x）=3x2+2ax-（2a+3）=（x-1）（3x+2a+3），
由f'（x）=0，得x=1或x=，因为f（x）在区间（1，+∞）上不单调，
所以＞1，故a＜-3．
（3）因为f（x）＞0对x∈[-1，1]恒成立．所以当x∈[-1，1]时，f（x）min＞0，
①当即时，a≤-3时，函数f（x）在x∈[-1，1]上单调递增，
所以，解得a＞-1或a＜-2．
故a≤-3             11分
②当-1，即-3＜a＜0时，
函数f（x）在上为增函数，在上为减函数
所以fmin（x）=min{f（-1），f（1）}，
故，所以a＞2或a＜-2，
所以-3＜a＜-2         13分
③当即a≥0，函数f（x）在x∈[-1，1]上为减函数，
所以
所以a＞2或a＜-1，
故a＞2
综上所述，实数a得取值范围为a＞2或a＜-2．              15分