Question

如图，A，B是焦点为F的抛物线y²=-4x上的两动点，线段AB的中点M在直线x=t（t＜0）上．
（1）当t=-1时，求|FA|+|FB|的值；
（2）记|AB|得最大值为g（t），求g（t）．

Answer

（1）利用椭圆的定义及线段AB的中点M在定直线x=t （t＜0）上，可求|FA|+|FB|的值；
（2）设设直线AB的方程为x-t=-（y-m），将直线的方程代入抛物线的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得|AB|的表达式，最后利用二次函数的性质即可求出其最大值，从而解决问题．
【解析】
（1）y2=-4x的焦点坐标是F（-1，0），准线方程是x=1
设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AF|=-x1+1，|BF|=-x2+1
∴|FA|+|FB|=-（x1+x2）+2
∵线段AB的中点M在定直线x=t （t＜0）上
∴x1+x2=2t，
∴|FA|+|FB|=-2t+2；
∵t=-1，∴|FA|+|FB|=4．
（2）由得（y1+y2）（y1-y2）=-4（x1-x2），
∴
故可设直线AB的方程为x-t=-（y-m）
即 x=-y++t     6分
联立消去x得y2-2my+2m2=4t=0
y1+y2=2m，y1y2=2m2+4t，8分
∴|AB|=|y1-y2|=，
∵△=-4m2-16t＞0，∴0≤m2＜-4t，
∴g（t）=|AB|max=．14分．