Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁底面ABCD为菱形，AB=1，AA₁=，∠ABC=60°．
（1）求证：AC丄BD₁
（2）求四面体D₁AB₁C的体积．

Answer

（1）菱形ABCD中证出AC⊥BD，由直四棱柱的性质得BB1⊥平面ABCD，证出BB1⊥AC，利用线面垂直判定定理证出AC⊥平面BB1D1D，即可得到AC丄BD1；
（2）利用锥体体积公式，算出三棱锥B1-ABC的体积等于直四棱柱ABCD-A1B1C1D1体积的，同理得到三棱锥D1-ADC的体积、三棱锥A-A1B1C1的体积和
三棱锥C-B1C1D1的体积都等于直四棱柱ABCD-A1B1C1D1体积的，由此可得四面体D1AB1C的体积等于直四棱柱ABCD-A1B1C1D1体积的，即可算出答案．
【解析】
（1）连结BD，交AC于O点
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD
又∵直四棱柱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD
∴结合AC⊂平面ABCD，得BB1⊥AC
∵BB1、BD是平面BB1D1D内的相交直线，
∴AC⊥平面BB1D1D，
∵BD1⊂平面BB1D1D，∴AC⊥BD1；
（2）∵菱形ABCD中，AB=1，∠ABC=60°．
∴SABCD=AB•BCsin60°=
∵三棱锥B1-ABC的底面积等于菱形ABCD的一半，
设与直四棱柱柱ABCD-A1B1C1D1相等，
∴三棱锥B1-ABC的体积VB1-ABC=VABCD-A1B1C1D1，
同理可得：VD1-ADC=VC-B1C1D1=VA-A1B1D1=
因此四面体D1AB1C的体积为
V=VABCD-A1B1C1D1-4×VABCD-A1B1C1D1=VABCD-A1B1C1D1=××=．