Question

已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0；
（1）若圆C的切线在x轴，y轴上的截距相等，求此切线方程；
（2）求圆C关于直线x-y-3=0的对称的圆方程
（3）从圆C外一点P（x₁，y₁）向圆引一条切线，切点为M，O为原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P点的坐标．

Answer

（1）求出圆心和半径，设直线方程为x+y-a=0或y=kx，由圆心C到切线的距离等于半径，求出待定系数a和k的值，即可得到所求切线方程；
（2）求出圆心关于直线x-y-3=0 的对称点坐标，而对称圆的半径和已知圆的半径相等，由圆方程的一般式即可求出对称圆的方程；
（3）由切线的性质得到△PCM为直角三角形，利用勾股定理得|PC|2=|PM|2+r2，由|PM|2=|PO|2利用两点间的距离公式化简可得点P的轨迹为2x1-4y1+3=0，再求得原点在直线2x-4y+3=0上的射影点，即得使|PM|最小的P点的坐标．
【解析】
（1）圆C：x2+y2+2x-4y+3=0即（x+1）2+（y-2）2=2，
表示圆心为C（-1，2），半径等于的圆．
设斜率为-1的切线方程为x+y-a=0，过原点的切线方程为kx-y=0，
则圆心C到切线的距离等于半径，
可得：=，求得a=-1或3．
再由=，求得k=2±，
故所求的切线的方程为x+y-3=0或x+y+1=0或y=（2±）x；
（2）由（1）圆C（x+1）2+（y-2）2=2的圆心在（-1，2），半径等于．
∵点P（m，n）关于直线x-y-3=0的对称的点为P'（n+3，m-3）
∴点（-1，2）关于直线x-y-3=0对称的点的
坐标为（2+3，-1-3）即（5，-4），
故圆C关于直线x-y-3=0的对称的圆方程是 （x-5）2+（y+4）2=2；
（3）设P的坐标为（x，y）
由于|PC|2=|PM|2+|CM|2=|PM|2+r2，
∴|PM|2=|PC|2-r2．
又∵|PM|=|PO|，∴|PC|2-r2=|PO|2，
∴（x1+1）2+（y1-2）2-2=x12+y12．
∴2x1-4y1+3=0即为动点P的轨迹方程．
∵原点在直线2x-4y+3=0上的射影点为（-，），
∴使|PM|最小的P点的坐标为（-，）．