Question

已知数列{a_n}的首项a₁=1，前n项之和S_n满足关系式：3tS_n+1-（2t+3）S_n=3t（t＞0，n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设数列{a_n}的公比为f（t），数列{b_n}满足，且b₁=1．
（i）求数列{b_n}的通项b_n；
（ii）设T_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1，求T_n．

Answer

（1）由已知可得3tSn-（2t+3）Sn-1=3t（n≥2），两式相减可得数列an+1与an的递推关系并作商得，再验证即得证；
（2）由（1）求出f（t），把f（t）的解析式代入bn，得bn+1=+bn，判断出{bn}是一个首项为1，公差为的等差数列．进而根据等差数列的通项公式求得答案；
（3）把式子b1b2-b2b3+b3b4-…+b2n-1b2n-b2nb2n+1化简，根据{bn}是等差数列，代入前n项和公式，注意公差的变化，再进行化简．
（1）证明：∵3tSn+1-（2t+3）Sn=3t，
∴3tSn-（2t+3）Sn-1=3t，（n≥2），
两式相减得3tan+1-（2t+3）an=0，
又∵t＞0，∴（n≥2），
当n=2时，3tS2-（2t+3）S1=3t，
即3t（a1+a2）-（2t+3）a1=3t，且a1=1，
得a2=，则，
即对n≥1都成立，
∴{an}为以1为首项，为公比的等比数列，
（2）【解析】
由已知得，f（t）=，
∴===，
即，
∴{bn}是一个首项为1，公差为的等差数列，
则bn=1+（n-1）×=n+，
（3）【解析】
Tn=b1b2-b2b3+b3b4-…+b2n-1b2n-b2nb2n+1
=b2（b1-b3）+b4（b3-b5）+…+b2n（b2n-1-b2n+1）=-2d（b2+b4+…+b2n）
=-2×（b2+b4+…+b2n）=-2×[n+×]
=．