Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，求证：
（1）PC⊥BD；
（2）面PBD⊥面PAC．

Answer

（1）欲证明PC⊥BD，只需证明BD垂直于PC所在的平面，根据已知以及线面垂直的性质，正方形的性质，就可证明BD垂直于PC所在的平面PAC，进而证明PC垂直于BD．
（2）与证明平面PBD⊥平面PAC，只需证明，平面PBD经过平面PAC的一条垂线，由（1）可知BD垂直于平面PAC，且BD包含于平面PBD，就可证明平面PBD⊥平面PAC．
【解析】
（1）连接AC，BD．
∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD
∵PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC=C，
∴BD⊥平面PAC，
∵PC⊂平面PAC，∴PC⊥BD．
（2）由（1）可知，BD⊥平面PAC，又∵BD⊂平面PBD
∴平面PBD⊥平面PAC．