Question

已知数列{a_n}的前n项之和为S_n，满足a_n+S_n=n．
（Ⅰ）证明：数列{a_n-1}为等比数列，并求通项a_n；
（Ⅱ）设b_n=（2-n）•（a_n-1），求数列{b_n}中的最大项的值．

Answer

（1）由数列前n项和Sn与an的关系式，结合题中等式化简得2an=an-1+1（n≥2），再配方得到，可得{an-1}为公比为的等比数列，利用等比数列通项公式即可算出通项an；
（2）根据题意，得，利用作差研究得到bn+1-bn=（3-n），因此可得当n≤3时数列{bn}递增，而当n≥4时数列{bn}递减，进而得到数列{bn}中的最大项为b3=b3=．
【解析】
（Ⅰ）由题意，得Sn=n-an，所以Sn-1=n-1-an-（ ）1，
两式相减得Sn-Sn-1=1+an-1-an，
整理，得2an=an-1+1，（n≥2）
配方得：2（an-1）=an-1-1
∴，可得{an-1}为公比为的等比数列
由已知式可得a1+s1=1，得
∴，可得，
n=1时也符合
因此，数列{an}的通项公式为…（7分）
（Ⅱ）
可得=（3-n）
∴当n=1，2时，bn+1-bn≥0；当n=3时，bn+1-bn=0；当n≥4时，bn+1-bn＜0
∴当n=3或4时，bn达到最大值．即数列{bn}中的最大项为b3=b3=．…（14分）