Question

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点横坐标为x_n，则log₂₀₁₄x₁+log₂₀₁₄x₂+log₂₀₁₄x₃+…log₂₀₁₄x₂₀₁₃的值为（ ）
A．-log₂₀₁₄2013
B．-1
C．-1+log₂₀₁₄2013
D．1

Answer

由题意可得P（1，1），f′（x）=（n+1）xn，根据导数的几何意义可求切线的斜率k，进而可求切线方程，切线方程，在方程中，令y=0可得，xn=，利用累乘可求x1x2…x2013=••…，代入可求出答案．
【解析】
由题意可得P（1，1）
对函数f（x）=xn+1求导可得，f′（x）=（n+1）xn
∴y=f（x）在点P处的切线斜率K=f′（1）=n+1，切线方程为y-1=（n+1）（x-1）
令y=0可得，xn=
∴x1x2…x2013=••…，
∴log2014x1+log2014x2+log2014x3+…log2014x2013=log2014（x1x2…x2013）
=log2014  =-1
故选B．