Question

已知函数，m∈R．
（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间（-2，3）上是减函数，求m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）把m=1代入到f（x）中化简得到f（x）的解析式，求出f'（x），因为曲线的切点为（2，f（2）），所以把x=2代入到f'（x）中求出切线的斜率，把x=2代入到f（x）中求出f（2）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；
（2）已知f（x）在区间（-2，3）上是减函数，即f′（x）≤0在区间（-2，3）上恒成立，然后用导数求f（x）的单调递减区间，再对m进行分类讨论建立关于m的不等关系解之即可得到m的取值范围．
【解析】
（1）当m=1时，，
又f'（x）=x2+2x-3，所以f'（2）=5．
又，
所以所求切线方程为 ，即15x-3y-25=0．
所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为15x-3y-25=0．…（6分）
（2）因为f'（x）=x2+2mx-3m2，
令f'（x）=0，得x=-3m或x=m．…（8分）
当m=0时，f'（x）=x2≥0恒成立，不符合题意．…（9分）
当m＞0时，f（x）的单调递减区间是（-3m，m），若f（x）在区间（-2，3）上是减函数，
则解得m≥3．…（11分）
当m＜0时，f（x）的单调递减区间是（m，-3m），若f（x）在区间（-2，3）上是减函数，
则，解得m≤-2．
综上所述，实数m的取值范围是m≥3或m≤-2．…（13分）