Question

已知函数f（x）=2ax³-3x²，其中a＞0．
（Ⅰ）求证：函数f（x）在区间（-∞，0）上是增函数；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+f^′（x）（x∈[0，1]）在x=0处取得最大值，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求导函数，确定f′（x）＞0，即可证得函数f（x）在区间（-∞，0）上是增函数；
（Ⅱ）g（x）=2ax3+（6a-3）x2-6x，（x∈[0，1]），求导函数，令g′（x）=0，确定在区间[0，1]上，g（x）在x=0或x=1处取得最大值，根据g（x）在x=0处取得最大值，即可确定求a的取值范围．
（Ⅰ）证明：求导函数f′（x）=6x（ax-1）．
因为a＞0且x＜0，所以f′（x）＞0．
所以函数f（x）在区间（-∞，0）上是增函数．                  …（6分）
（Ⅱ）【解析】
由题意，g（x）=2ax3+（6a-3）x2-6x，（x∈[0，1]），则g′（x）=6[ax2+（2a-1）x-1]．…（8分）
令g′（x）=0，即ax2+（2a-1）x-1=0．①
由于△=4a2+1＞0，可设方程①的两个根为x1，x2，
由①得x1x2=-，
由于a＞0，所以x1x2＜0，不妨设x1＜0＜x2，g′（x）=6a（x-x1）（x-x2）．
当0＜x2＜1时，g（x2）为极小值，
所以在区间[0，1]上，g（x）在x=0或x=1处取得最大值；
当x2≥1时，由于g（x）在区间[0，1]上是单调递减函数，所以最大值为g（0），
综上，函数g（x）只能在x=0或x=1处取得最大值．      …（10分）
又已知g（x）在x=0处取得最大值，所以g（0）≥g（1），
即0≥8a-9，解得a≤，
又因为a＞0，所以a∈（0，]．                                      …（13分）