Question

如图，在半径为30cm的圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A、C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长AB=xcm，圆柱的体积为Vcm³．
（1）写出体积V关于x的函数关系式；
（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？

Answer

（1）连接OB，在Rt△OAB中，由AB=x，利用勾股定理可得，
设圆柱底面半径为r，则，即可得出r．
利用V=πr2•x（其中0＜x＜30）即可得出．
（2）利用导数V′，得出其单调性即可．
【解析】
（1）连接OB，在Rt△OAB中，∵AB=x，∴，
设圆柱底面半径为r，则，
即4πr2=900-x2，
∴V=πr2•x==．
其中0＜x＜30．
（2）由=0，得．
由V′＞0解得；由V′＜0解得．
因此V在（0，）上是增函数，在（，30）上是减函数．
所以当时，V有最大值．