Question

已知等差数列{a_n} 中，a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，令b_n=a_n•a_n+1，数列{}的前n项和为T_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：T_n＜；
（3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用等差数列的通项公式和已知条件可得解出即可；
（2）利用（1）和“裂项求和”即可得出；
（3）利用等比数列的定义、分类讨论和整数的性质及不等式的性质即可得出．
【解析】
（1）设数列{an}的公差为d，由解得．∴an=1+（n-1）×3=3n-2．
（2）∵an=3n-2，an+1=3n+1，∴bn=an•an+1=（3n-2）（3n+1），
∴．
∴．
（3）由（2）知，，∴，，
∵T1，Tm，Tn成等比数列，∴，即．
当m=2时，，n=16，符合题意；
当m=3时，，n无正整数解；
当m=4时，，n无正整数解；
当m=5时，，n无正整数解；
当m=6时，，n无正整数解；
当m≥7时，m2-6m-1=（m-3）2-10＞0，则，而，
所以，此时不存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列．
综上，存在正整数m=2，n=16，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列．