Question

已知圆x²+y²+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．

Answer

先将直线与圆的方程联立，得到5y2-20y+12+m=0，再由韦达定理分别求得，又因为OP⊥OQ，转化为x1•x2+y1•y2=0求解．
【解析】
设P、Q的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
由OP⊥OQ可得：，即，
所以x1•x2+y1•y2=0．
由x+2y-3=0得x=3-2y代入x2+y2+x-6y+m=0
化简得：5y2-20y+12+m=0，
所以y1+y2=4，y1•y2=．
所以x1•x2+y1•y2=（3-2y1）•（3-2y2）+y1•y2=9-6（y1+y2）+5y1•y2
=9-6×4+5×=m-3=0
解得：m=3．