Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（ ）
A．
B．
C．3
D．9

Answer

根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．取M（1，4），双曲线的左顶点为A（-a，0），AM的斜率为，双曲线的渐近线方程是，由已知得，由双曲线一条渐近线与直线AM平行能求出实数a．
【解析】
∵抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，
∴抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其准线的距离为5，
根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．
∴抛物线y2=16x，
∴M（1，±4），
∵m＞0，
∴取M（1，4），
∵双曲线的左顶点为A（-，0），
∴AM的斜率为，
双曲线的渐近线方程是，
由已知得，
解得a=．
故选A．