Question

已知函数f（x）=x³+ax²+2bx+c（a，b，c∈R），且函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则z=（a+3）²+b²的取值范围（ ）
A．（，2）
B．（，4）
C．（1，2）
D．（1，4）

Answer

据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．
【解析】
∵f（x）=
∴f′（x）=x2+ax+2b
∵函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值
∴f′（x）=x2+ax+2b=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根
f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0
即
（a+3）2+b2表示点（a，b）到点（-3，0）的距离的平方，
由图知（-3，0）到直线a+b+2=0的距离，平方为为最小值，
（-3，0）与（-1，0）的距离2，平方为4为最大值
故选项为B